20/04/2016
Tot voor de komst van de moderne computers, met hun fenomenale rekencapaciteit, bleven bepaalde problemen met betrekking tot het ingewikkelde gedrag van dynamische systemen, zoals de atmosfeer, stroming, convectie, turbulentie, de brown-beweging en niet-lineaire veranderingen in het algemeen, buiten het bereik van de wiskunde. Vele fenomenen waarvan de complexiteit geassocieerd werd met toeval en willekeur bleven noodgedwongen onbegrepen. De mogelijkheden van de computer openden echter nieuwe perspectieven voor wiskundig onderzoek, die geleid hebben tot de ontwikkeling van recente theorieën die de naam dragen van ‘fractalen’ en ‘chaostheorie’. Sindsdien is gebleken dat eenvoudige grondregels soms een bizarre ingewikkeldheid kunnen voortbrengen en dat complexe structuren dikwijls heel elementaire bronnen hebben. Zoals een vlinder in het Amazonegebied met zijn flauwe vleugelslag na verloop van tijd een orkaan kan veroorzaken in Manhattan.
De ‘chaostheorie’ bestudeert de evolutie van veranderingsprocessen in de tijd, meestal beschreven met (stelsels van) differentiaalvergelijkingen. Exacte oplossingen zijn dikwijls niet berekenbaar maar kunnen nu, dankzij de computer, numerisch benaderd worden. Omwille van een uiterste gevoeligheid voor geringe variaties in de beginwaarden voor de veranderlijken, geleverd door benaderde meetresultaten, gaan vele dergelijke systemen een complex (snel afwijkend) gedrag vertonen dat grenzen oplegt aan de voorspelbaarheid van de oplossingen. Dit manifesteert zich in patronen, ‘vreemde attractoren’ genoemd, die typisch zijn voor de betreffende dynamische systemen. Bekende problemen uit de chaostheorie zijn bijvoorbeeld deze van de weersvoorspelling en de stabiliteit van het zonnestelsel.
Fractalen zijn figuren die een visualisering geven van iteratieve processen (herhaalde constructies of algoritmen waarbij een verkregen ‘output’ fungeert als nieuwe ‘input’), die resulteren in zelfgelijkvormigheid. Dit betekent dat bij een onbeperkte herhaling van de procedure een figuur verschijnt die in elke close-up, op wat voor schaal dan ook, eenzelfde structuur laat zien, bijvoorbeeld zoals een boom of een bloemkool.
Hoewel de studies van ‘fractalen’ en van ‘deterministische chaos’ aanvankelijk een verschillende aanzet hadden, worden beide domeinen nu meer en meer met elkaar in verband gebracht. Enerzijds omdat iteratie bij beide een fundamentele rol speelt, anderzijds ook omdat ‘vreemde attractoren’ de kenmerken vertonen van ‘fractalen’.
Rik Verhulst is hoofdauteur van diverse studieboeken en doceerde aan de Lerarenopleiding van de Karel de Grote-Hogeschool in Antwerpen.